2019年高考数学(文)一轮复*选修4-5 不等式选讲跟踪检测 (六十)绝对值不等式及答案

发布于:2021-10-14 07:52:14

课时跟踪检测 (六十) 绝对值不等式 1.已知|2x-3|≤1 的解集为. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 解:(1)不等式|2x-3|≤1 可为-1≤2x-3≤1, 解得 1≤x≤2,所以 m=1,n=2,m+n=3. (2)证明: 若|x-a|<1, 则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a| +1.即|x|<|a|+1. 2. (2017·合肥质检)已知函 f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最 小值为 a. (1)求实 a 的值; (2)解不等式 f(x)≤5. 解:(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a, 从而解得 a=2. -2x+6,x≤2, ? ? (2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|=?2,2<x≤4, ?2x-6,x>4. ? 故当 x≤2 时,令-2x+6≤5, 1 得 ≤x≤2, 2 当 2<x≤4 时,显然不等式成立, 11 当 x>4 时,令 2x-6≤5,得 4<x≤ , 2 ? ?1 ? 11 故不等式 f(x)≤5 的解集为?x? ≤x≤ 2 ? ?2 ? ? ? ?. ? ? 3. (2016·广西质检)已知函 f(x)= a x- 1 +ax(a>0)在(1, +∞) 上的最小值为 15,函 g(x)=|x+a|+|x+1|. (1)求实 a 的值; (2)求函 g(x)的最小值. 解:(1)∵f(x)= +ax= +a(x-1)+a,x>1,a>0, x- 1 x- 1 a a ∴f(x)≥3a,即有 3a=15,解得 a=5. (2)由于 g(x)=|x+5|+|x+1|≥|(x+5)-(x+1)|=4,当且 仅当-5≤x≤-1 时等号成立, ∴g(x)=|x+5|+|x+1|的最小值为 4. 4.已知函 f(x)=|x-a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|-1≤x≤5},求实 a,m 的值; (2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+ 2). 解:(1)∵|x-a|≤m, ∴-m+a≤x≤m+a. ∵-m+a=-1,m+a=5, ∴a=2,m=3. (2)f(x)+t≥f(x+2)可为|x-2|+t≥|x|. ①当 x∈(-∞,0)时,2-x+t≥-x,2+t≥0, ∵0≤t<2,∴x∈(-∞,0); ②当 x∈. 7.(2016·兰州诊断)设函 f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若? x0∈R,使得 f(x0)+2m2<4m,求实 m 的取值范围. 解:(1)不等式 f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|, 即 4x2-4x+1>x2+4x+4, 1 3x2-8x-3>0,解得 x<- 或 x>3, 3 ? ? ? 1 所以不等式 f(x)>0 的解集为?x?x<- 或x>3 3 ? ? ? ? ? ?. ? ? ?-x+3,x<-2, 1 ?-3x-1,-2≤x≤ , 2 (2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=? ?x-3,x≥1, ? 2 ?1? 5 故 f(x)的最小值为 f? ?=- . 2 ?2? 因为? x0∈R,使得 f(x0)+2m2<4m, 5 所以 4m-2m2>- , 2 1 5 解得- <m< . 2 2 ? 1 5? 故实 m 的取值范围为?- , ?. ? 2 2? 8.已知函 f(x)=|3x+2|. (1)解不等式 f(x)<4-|x-1|; 1 1 (2)已知 m+n=1(m, n>0), 若|x-a|-f(x)≤ + (a>0)恒成立, m n 求实 a 的取值范围. 解:(1)不等式 f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4. 2 当 x<- 时,即-3x-2-x+1<4, 3 5 2 解得- <x<- ; 4 3 2 当- ≤x≤1 时,即 3x+2-x+1<4, 3 2 1 解得- ≤x< ; 3 2 当 x>1 时,即 3x+2+x-1<4,无解. ? 5 1? 综上所述,x∈?- , ?. ? 4 2? 1 1 ?1 1? n m (2)由题意, + =? + ?(m+n)=1+1+ + ≥4, m n ?m n? m n 1 当且仅当 m=n= 时等号成立. 2 令 g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|= , ?2x+2+a,x<-2 3 ? ?-4x-2+a,-2≤x≤a, 3 ? ?-2x-2-a,x>a. 2 2 ∴x=- 时,g(x)max= +a,要使不等式恒成立, 3 3 2 10 只需 g(x)max= +a≤4,即 0<a≤ . 3 3 所以实 a 的取值范围是?0, ? ? 10? ?. 3?

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