2019高考数学大一轮复* 不等式选讲 课时跟踪检测(六十)绝对值不等式练* 文

发布于:2021-10-14 08:04:12

2019 高考数学大一轮复* 不等式选讲 课时跟踪检测(六十)绝对 值不等式练* 文 1.已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 解:(1)不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1, 解得 1≤x≤2,所以 m=1,n=2,m+n=3. (2)证明:若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.即|x|<|a|+1. 2.(2017·合肥质检)已知函数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为 a. (1)求实数 a 的值; (2)解不等式 f(x)≤5. 解:(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a, 从而解得 a=2. ?? -2x+6,x≤2, (2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|=?2,2<x≤4, ??2x-6,x>4. 故当 x≤2 时,令-2x+6≤5, 得12≤x≤2, 当 2<x≤4 时,显然不等式成立, 当 x>4 时,令 2x-6≤5,得 4<x≤121, 故不等式 f(x)≤5 的解集为?????x???12≤x≤121 ???. ?? 3.(2016·广西质检)已知函数 f(x)=x-a 1+ax(a>0)在(1,+∞)上的最小值为 15, 函数 g(x)=|x+a|+|x+1|. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 g(x)的最小值. 解:(1)∵f(x)=x-a 1+ax=x-a 1+a(x-1)+a,x>1,a>0, ∴f(x)≥3a,即有 3a=15,解得 a=5. (2)由于 g(x)=|x+5|+|x+1|≥|(x+5)-(x+1)|=4,当且仅当-5≤x≤-1 时等号 成立, ∴g(x)=|x+5|+|x+1|的最小值为 4. 4.已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a,m 的值; (2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2). 解:(1)∵|x-a|≤m, ∴-m+a≤x≤m+a. ∵-m+a=-1,m+a=5, ∴a=2,m=3. (2)f(x)+t≥f(x+2)可化为|x-2|+t≥|x|. ①当 x∈(-∞,0)时,2-x+t≥-x,2+t≥0, ∵0≤t<2,∴x∈(-∞,0); ②当 x∈[0,2)时,2-x+t≥x,x≤1+t2,0≤x≤1+t2, ∵1≤1+t2<2,∴0≤x≤1+t2; ③当 x∈[2,+∞)时,x-2+t≥x,t≥2,当 0≤t<2 时,无解. 综上,当 0≤t<2 时, 所求不等式的解集为???-∞,t2+1???. 5.(2017·西安质检)设函数 f(x)=???x-52???+|x-a|,x∈R. (1)求证:当 a=-12时,不等式 ln f(x)>1 成立; (2)关于 x 的不等式 f(x)≥a 在 R 上恒成立,求实数 a 的最大值. 解:(1)证明:由 f(x)=???x-52???+???x+12??? ?-2x+2,x<-21, ??= 3,-12≤x≤25, ??2x-2,x>52, 画出草图,分析可得函数 f(x)的最小值为 3,从而 f(x)≥3>e, 所以 lnf(x)>1 成立. (2)由绝对值不等式的性质得 f(x)=???x-52???+|x+a|≥??????x-52???- x-a ???=???a-52???, 所以 f(x)的最小值为???52-a???, 从而???52-a???≥a, 解得 a≤54. 因此 a 的最大值为54. 6.(2016·河北三市二联)设函数 f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)+4≥|1-2m|有解,求实数 m 的取值范围. ?? -3,x≤-2, 解:(1)函数 f(x)可化为 f(x)=?2x+1,-2<x<1, ??3,x≥1, 当 x≤-2 时,f(x)=-3<0,不合题意; 当-2<x<1 时,f(x)=2x+1>1,得 x>0,即 0<x<1; 当 x≥1 时,f(x)=3>1,即 x≥1. 综上,不等式 f(x)>1 的解集为(0,+∞). (2)关于 x 的不等式 f(x)+4≥|1-2m|有解等价于(f(x)+4)max≥|1-2m|, 由(1)可知 f(x)max=3(也可由|f(x)|=||x+2|-|x-1||≤|(x+2)-(x-1)|=3,得 f(x)max=3), 即|1-2m|≤7,解得-3≤m≤4. 故实数 m 的取值范围为[-3,4]. 7.(2016·兰州诊断)设函数 f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若? x0∈R,使得 f(x0)+2m2<4m,求实数 m 的取值范围. 解:(1)不等式 f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|, 即 4x2-4x+1>x2+4x+4, 3x2-8x-3>0,解得 x<-13或 x>3, 所以不等式 f(x)>0 的解集为?????x???x<-31或x>3 ???. ?? ??? (2)f(x)=|2x-1|-|x+2|= -x+3,x<-2, -3x-1,-2≤x≤21, ??x-3,x≥12, 故 f(x)的最小值为 f???12???=-52. 因为? x0∈R,使得 f(x0)+2m2<4m, 所以 4m-2m2>-52, 解得-12<m<52. 故实数 m 的取值范围为???-12,52???. 8.已知函数 f(x)=|3x+2|. (1)解不等式 f(x)<4-|x-1|; (2)已知 m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤1m+1n(a>0)恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)不等式 f(x)<4-|x-1|,即|

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